Bài 9.10 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\)


Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 6\) với mọi x.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}};\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 4\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\left[ {\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]' = 4\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)'\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = 12\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 6 \le 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 6 \Leftrightarrow  - 6 \le f'\left( x \right) \le 6\)

Vậy  \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 6\) với mọi x.



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến