Bài 9 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tinh đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \tan \left( {{e^x} + 1} \right)\);

b) \(y = \sqrt {\sin 3x} \);

c) \(y = \cot \left( {1 - {2^x}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(u = {e^x} + 1\) thì \(y = \tan x\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {{e^x} + 1} \right)^\prime } = {e^x}\) và \(y{'_u} = {\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}.{e^x} = \frac{{{e^x}}}{{{{\cos }^2}\left( {{e^x} + 1} \right)}}\).

Vậy \(y' = \frac{{{e^x}}}{{{{\cos }^2}\left( {{e^x} + 1} \right)}}\).

b) Đặt \(u = \sin 3{\rm{x}}\) thì \(y = \sqrt u \). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {\sin 3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\cos 3{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt u }}\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{2\sqrt u }}.3\cos 3{\rm{x}} = \frac{{3\cos 3{\rm{x}}}}{{2\sqrt {\sin 3{\rm{x}}} }}\).

Vậy \(y' = \frac{{3\cos 3{\rm{x}}}}{{2\sqrt {\sin 3{\rm{x}}} }}\).

c) Đặt \(u = 1 - {2^x}\) thì \(y = \cot u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {1 - {2^x}} \right)^\prime } =  - {2^x}\ln 2\) và \(y{'_u} = {\left( {\cot u} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}u}}.\left( { - {2^x}\ln 2} \right) = \frac{{{2^{x + 1}}\ln 2}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - {2^x}} \right)}}\).

Vậy \(y' = \frac{{{2^{x + 1}}\ln 2}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - {2^x}} \right)}}\).