Bài 87 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng \({\log _2}3 > {\log _3}4\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr 
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\
\Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4
\end{array}\)

Chú ý:

Ta có cách trình bày khác như sau:

Ta có \({\log _2}3 > {\log _3}4 \) \(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\)

\(\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) (vì \({\log _3}2 > 0\))

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr 
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\,\,\left( {dpcm} \right) \cr} \)