Bài 8 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) .

c) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (kb;ka)\) với \(k \ne 0\) .

d) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (5b; - 5a)\) .

e) Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b)\) .

Lời giải chi tiết

Các mệnh đề đúng là: a), b), d), e)

Các mệnh đề sai là: c)

Giải thích:

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) (đúng)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) (đúng)

Vì \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) nên \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) hoặc \(\overrightarrow u  = ( b;-a)\) đều là VTCP của \(\Delta \).

c) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (kb;ka)\) với \(k \ne 0\) (sai)

Vì \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) là một VTCP của \(\Delta \) nên \(k\overrightarrow u  = ( -k b;ka)\) là VTCP của \(\Delta \).

d) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (5b; - 5a)\) (đúng)

Vì \(( b;-a)\) là VTCP của \(\Delta \) nên \(5( b;-a)=(-5b;5a)\) cũng là một VTCP của \(\Delta \).

e) Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b)\) (đúng)

Vì hai đường thẳng vuông góc sẽ có VTPT của đường này là VTCP của đường kia.

Rõ ràng \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) nên \( (a;b)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc của \(\Delta \).

Hoặc ta thấy, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì các VTCP vuông góc với nhau.

Mà \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) nên \( (a;b)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc của \(\Delta \) vì \(-b.a+a.b=0\) (nghĩa là hai VTCP vuông góc nhau).