Bài 7.39 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại \(A\), tam giác BCD cân tại \(D\). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng \(BC \bot (AID)\).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng \(AH \bot (BCD)\).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC cân tại A có

I là trung điểm của BC

\( \Rightarrow AI \bot BC\)

Xét tam giác ACD cân tại D có

I là trung điểm của BC

\( \Rightarrow DI \bot BC\)

Ta có \(AI \bot BC,DI \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AID} \right)\)

b) \(BC \bot \left( {AID} \right);BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow \left( {BCD} \right) \bot \left( {AID} \right)\)

\(\left( {BCD} \right) \cap \left( {AID} \right) = DI\)

Trong (AID) có \(AH \bot DI\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)

c) Ta có \(BC \bot \left( {AID} \right);IJ \subset \left( {AID} \right) \Rightarrow BC \bot IJ\)

Mà \(IJ \bot AD\)

Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC