Bài 7.28 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó.


Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thế tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Lời giải chi tiết

 

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác SAG vuông tại G có

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)

Diện tích tam giác đều ABC là

Thể tích khối chóp đều là

Do đó thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là

\(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}.\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến