Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + {{17} \over 3}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& f'\left( x \right) = {x^2} - 4x\cr&f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 4 \hfill \cr} \right.\cr&f\left( 0 \right) = {{17} \over 3};\,f\left( 4 \right) = - 5 \cr} \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞,0) và (4; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ=y(0)=17/3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y_CT=y(4)=-5

\(\eqalign{
& f''\left( x \right) = 2x - 4\cr&f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \cr 
& f\left( 2 \right) = {1 \over 3} \cr} \)

Điểm uốn \(I\left( {2;{1 \over 3}} \right)\)

Đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

Cách khác:

Hàm số đã cho có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu, tức hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía đối với trục hoành do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.