Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG a

\(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\);

Phương pháp giải:

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 \) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Vì \(0 < {\cos ^2}x < 1\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\)  \( \Rightarrow f'(x) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) 

Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)=0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

LG b

\(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2\) \(= {\tan ^2}x - {x^2} \) \( = \left( {\tan x - x} \right)\left( {\tan x + x} \right)\)

Ta có:

+) \(\tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (câu a)

+) \(\tan x + x > 0, \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) vì trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\tan x\) và \(x\) đều dương.

Do đó \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Nên hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và khi đó 

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \)

\(\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)