Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)

Phương pháp giải:

Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\), tính các số phức \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\) và \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)\) suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z  = a - bi\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {a + bi + a - bi} \right) = a\) là phần thực của \(z\).

\(\frac{1}{{2i}}\left( {z - \overline z } \right)\) \( = \frac{1}{{2i}}\left( {a + bi - a + bi} \right)\) \( = \frac{1}{{2i}}.2bi = b\) là phần ảo của \(z\).

LG b

Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \overline z ;\)

Lời giải chi tiết:

z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

\(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \overline z \)

Cách khác:

\(z =- \overline z\) \(\Leftrightarrow z + \overline z  = 0 \) \(\Leftrightarrow a + bi + a - bi =0\) \( \Leftrightarrow 2a = 0 \) \(\Leftrightarrow a = 0\)

LG c

Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} ,\,\overline {zz'}  = \overline z .\,\overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi;\; z'=a'+b'i\) \((a,b,a',b'\in\mathbb R)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} \cr &= a + a' - (b + b')i \cr 
&= a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr 
& \overline {z.z'} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a' + b'i} \right)} \cr &= \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \cr 
& = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i \cr 
&  \overline z.\overline {z'}  = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right)\cr 
& = aa' - a'bi - ab'i + bb'{i^2}\cr & = aa' - bb' - \left( {a'b + ab'} \right)i\cr & \Rightarrow \overline {z.z'}  = \overline z .\overline {z'} \cr &\overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } \cr &= {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr} \)