Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Cho số phức \(z=x+yi\). Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z - i}}\)

Phương pháp giải:

Thực hiện chia hai số phức \(\dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{c^2+d^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle {{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} \) \(\displaystyle = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \) \(\displaystyle  = \frac{{{x^2} + \left( {xy + x} \right)i - \left( {xy - x} \right)i - \left( {{y^2} - 1} \right){i^2}}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle  = \frac{{{x^2} + 2xi + \left( {{y^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)

Vậy phần thực là \(\displaystyle {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \(\displaystyle {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).

LG b

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương. 

Phương pháp giải:

Số phức z=a+bi là số thực dương nếu b=0 và a>0.

Lời giải chi tiết:

Với \(z \ne i\), 

Theo câu a, \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}} \) \( = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)

Nên để \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^2} + {y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}y > 1\\y <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y > 1\\x = 0,y <  - 1\end{array} \right.\)

Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn thẳng IJ, trong đó I(0; 1); J(0; -1).