Bài 6 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N, cắt đường thẳng AD tại S. Chứng minh:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Các đường thẳng AB, MN, CD đồng quy.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {BDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM).

\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác ABCD có hai đỉnh A; D cùng nhìn AD dưới góc 90⁰\( \Rightarrow A;D\) thuộc đường tròn đường kính BC.

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Xét \(\Delta EBC\) có \(BD \bot CE\,\,\left( {cmt} \right);\,\,AC \bot BE\,\,\left( {gt} \right);\)\(\,\,AC \cap BD = M \Rightarrow M\) là trực tâm của tam giác EBC \( \Rightarrow EM \bot BC\)  (1)

Ta có \(\widehat {MNC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \( \Rightarrow MN \bot BC\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) Qua M kẻ được 2 đường thẳng MN và ME cùng vuông góc với BC \( \Rightarrow E;M;N\) thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit).

Vậy AB, CD, MN đồng quy tại E.