Bài 4 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.

a) Nêu cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Nêu cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC

c) Tính bán kính R và r của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Xác định trọng tâm O của tam giác ABC, do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA.

b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH, đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) \(R = OA;\,\,r = OH\).

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) và \(AH \bot BC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \)\(\;\Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời là trọng tâm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\OH = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\).