Bài 22 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Chứng minh \(OA \bot EF\) .

c) Kẻ đường kính AD của (O), BC cắt HD tại I. Chứng minh \(OI \bot BC\).

d) Giả sử \(BC = R\sqrt 3 \). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF theo R.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = {90^0} \Rightarrow \) 2 điểm E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 90⁰ nên 2 điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC \( \Rightarrow \) BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC tâm M.

b) Dựng tiếp tuyến Ax.

Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {BAx}\)(1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).

Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {EFB} = {180^0}\) (Tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp). Mà \(\widehat {EFB} + \widehat {AFE} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {AFE}\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {BAx} = \widehat {AFE}\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow Ax//EF\).

Mà \(OA \bot Ax\) (Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A).

Vậy \(OA \bot EF\).

c) Ta có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow CD \bot AC\). Mà \(BH \bot AC \Rightarrow BH//CD\).

Chứng minh tương tự ta có: CH//BD

Suy ra tứ giác BDCH là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BC và HD.

Do đó \(OI \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

d) Ta có \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow E;F\) thuộc đường tròn đường kính AH. Do đó tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là đường tròn đường kính AH, có bán kính bằng \(\dfrac{{AH}}{2}\).

Ta có: OI là đường trung bình của tam giác AHD \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH\).

Xét tam giác vuông OIB có:

\(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}}  \)\(\,= \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{R^2}}}{4}}  = \dfrac{R}{2}\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF bằng \(\dfrac{{AH}}{2} = \dfrac{R}{2}\).