Bài 5 trang 88 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\)  và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠  F_2\). Đường tròn \((C)\)  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

Lời giải chi tiết

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)

\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau

\( \Rightarrow \)\(MF_1= R_1+ R\)  (1)

\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau

\( \Rightarrow \)\(MF_2= R_2- R\)  (2)

Từ (1) và (2) ta được 

\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1} + {R_2} = R\) không đổi.

Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}.\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)   và có tiêu cự \(F_1F_2= R_1+R_2.\)