Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1) 

LG a

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

Phương pháp giải:

- Chọn một điểm đi qua của d.

- Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm trên qua M.

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm vừa tìm và song song với d.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\).

Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr 
{y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr 
{y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\)

LG b

Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Phương pháp giải:

- Viết pt đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với d.

- Tìm giao điểm của d và d'.

Lời giải chi tiết:

Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1;1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - y = 0 \hfill \cr 
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr 
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).

Cách khác:

* Gọi H(a, b) là hình chiếu của M trên d.

* Vì điểm H thuộc đường thẳng d nên: a - b = 0 (1)

* Ta có HM vuông góc với d nên \(\overrightarrow {MH}  = \left( {a - 2;b - 1} \right)\) là một vecto chỉ phương của d.

Lại có: \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) là 1 vecto pháp tuyến của d nên hai vecto \(\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow n \) cùng phương

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a - 2}}{1} = \dfrac{{b - 1}}{{ - 1}}\\ \Leftrightarrow  - a + 2 = b - 1\\ \Leftrightarrow  - a - b =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\ - a - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{2}\\b = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)