Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \(m = 2\).

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr 
& y' = 4{x^3} - 6x\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}} ;0} \right)\) và \(\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} ; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\) và \(\left( {0;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \) và \({y_{CT}} =  - \frac{1}{4}\)

\(y'' = 12{x^2} - 6\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)

Đồ thị có hai điểm uốn : \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)

Điểm đặc biệt 

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr 
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

LG b

Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi 

\({y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - mx_o^2 - x_o^2 + m\\
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - x_o^2 + m\left( {1 - x_o^2} \right)
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:

\(  \left\{ \begin{array}{l}
1 - x_o^2 = 0\\
x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0
\end{array} \right.\)

\(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_o} = 1\\
{x_o} = - 1
\end{array} \right.\\
-{y_o} = 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr 
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = - 1 \hfill \cr 
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).