Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right)\)

LG a

Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr 
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr 
{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
- m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
2 < m < 3\\
m > 3
\end{array} \right.\)

Vậy \(m < -1\) hoặc \(2 < m < 3\) hoặc \(m > 3\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = -1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(m =-1\) ta có \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \) \(= {x^3} - {x^2} - x + 1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 2x - 1\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { - {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{3};1} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - \frac{1}{3}\) và \({y_{CD}} = y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  1\) và \({y_{CT}} = y\left( { 1} \right) = 0\)

\(y'' = 6x - 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)\)

Điểm đồ thị đi qua:

\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

\(x = -1 \Rightarrow y = 0\)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn \(I\) làm tâm đối xứng.