Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

LG a

\(y = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} - 3x - {5 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = {x^2} - 2x - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 3 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( { - 1} \right) = 0;\,\,y\left( 3 \right) = {{ - 32} \over 3} \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 2x - 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - {{16} \over 3}\)

Xét dấu y”

Điểm uốn \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 5} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\) làm tâm đối xứng.

LG b

\(y = {x^3} - 3x + 1\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( { - 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = - 1 \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 6x;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(0;1)\)

Điểm đặc biệt:\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng.

LG c

\(y =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2x - {2 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(y' =  - {x^2} + 2x - 2 < 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

\(y'' =  - 2x + 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - 2\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;-2)\)

Điểm đặc biệt:\(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 2} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;-2)\) làm tâm đối xứng.

LG d

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = 1\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;2)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;2)\) làm tâm đối xứng.