Bài 47 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
2x - y \ge 2 \hfill \cr
x - 2y \le 2 \hfill \cr
x + y \le 5 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

a) Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.

b) Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ \((x; y)\) làm cho biểu thức \(f(x;y)=y-x\) có giá trị nhỏ nhất, biết rằng \(f(x;y)\) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).

Giải

a) Lần lượt dựng các đường thẳng:

\(-2x + y = -2;  x – 2y = 2; x + y = 5\) và \(x = 0\)

Và dựa vào đó để tìm tập nghiệm S của hệ bất phương trình

Tập nghiệm S được biểu diễn bằng miền trong của tam giác ABC với:

\(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3});\,\,B({7 \over 3};\,{8 \over 3});\,C(4,\,1)\)

b) Tại \(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3}) \Rightarrow F =  - {4 \over 3}\)

Tại \(B({7 \over 3};\,{8 \over 3}) \Rightarrow F = {1 \over 3}\)

Tại \(C(4; 1)\) thì \(F = -3\)

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại \(C(4, 1)\)