Bài 44 trang 112 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho parabol \({y^2} = 2px.\) Tìm độ dài dây cung của parabol vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm của parabol (dây cung của parabol là đoạn thẳng nối hai điểm của parabol).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(F\left( {{p \over 2};0} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua F và vuông góc với Ox.

Khi đó \(\Delta \) có phương trình \(x = {p \over 2}\). Tọa độ giao điểm của \(\Delta \) với (P) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = 2px
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = 2p.\frac{p}{2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = {p^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
y = \pm p
\end{array} \right.\)

Vậy các giao điểm là \(M\left( {{p \over 2};p} \right)\) và \(N\left( {{p \over 2}; - p} \right) \)

\(MN = \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2} - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - p - p} \right)}^2}}\) \(  = \sqrt {0 + 4{p^2}}  = 2p\)