Bài 43 trang 63 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Xác định các hệ số a, b và c để cho hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi  \(x = {1 \over 2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

+) Hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\) đạt GTNN tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\,\,\,(1)\)

+) GTNN đạt được bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) nên \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b.\frac{1}{2} + c = \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = \frac{3}{4}\,\,\left( 2 \right)\)

+) \(f\left( 1 \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow a{.1^2} + b.1 + c = 1\)\( \Leftrightarrow a + b + c = 1\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1) (2) và (3) ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = {1 \over 2} \hfill \cr 
{1 \over 4}a + {1 \over 2}b + c = {3 \over 4} \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + b = 0 \hfill \cr 
a + 2b + 4 = 3 \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = - 1 \hfill \cr 
c = 1 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(y = x^2 – x + 1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: