Bài 43 trang 63 SGK Đại số 10 nâng cao

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.


Đề bài

Xác định các hệ số a, b và c để cho hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi  \(x = {1 \over 2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

- Lập hệ phương trình ẩn a, b, c.

- Giải hệ suy ra hàm số cần tìm và lập bảng biến thiên.

Chú ý:

Hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\,\,(a>0)\) đạt GTNN tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

+) Hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\) đạt GTNN tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\,\,\,(1)\)

+) GTNN đạt được bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) nên \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b.\frac{1}{2} + c = \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = \frac{3}{4}\,\,\left( 2 \right)\)

+) \(f\left( 1 \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow a{.1^2} + b.1 + c = 1\)\( \Leftrightarrow a + b + c = 1\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1) (2) và (3) ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = {1 \over 2} \hfill \cr 
{1 \over 4}a + {1 \over 2}b + c = {3 \over 4} \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + b = 0 \hfill \cr 
a + 2b + 4 = 3 \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = - 1 \hfill \cr 
c = 1 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(y = x^2 – x + 1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Bài giải tiếp theo
Bài 44 trang 64 SGK Đại số 10 nâng cao
Bài 45 trang 64 SGK Đại số 10 nâng cao
Bài 46 trang 64 SGK Đại số 10 nâng cao

Video liên quan



Bài học liên quan

Từ khóa