Bài 40 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Xét các số phức: \({z_1} = \sqrt 6  - i\sqrt 2 ;\) \({z_2} =  - 2 - 2i;\) \({z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\)

LG a

Viết \({z_1};\,{z_2};\,{z_3}\) dưới dạng lượng giác;

Phương pháp giải:

Dạng lượng giác của số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ &z_1=\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - i} \right) \cr & = 2\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\cr &= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi  \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 6}} \right)} \right],  \cr  & {z_2} = 2\left( { - 1 - i} \right) \cr & = 2\sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)\cr &= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {{3\pi } \over 4}} \right)} \right],  \cr & {z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\cr &= \cos \left( { - {\pi  \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) \cr &= \cos \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) + i\sin \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) \cr} \)

LG b

Từ câu a) hãy tính \(\cos {{7\pi } \over {12}}\) và \(\sin {{7\pi } \over {12}}\).

Phương pháp giải:

Thưc hiện phép chia hai số phức tính \({{{z_1}} \over {{z_2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt khác \({{{z_1}} \over {{z_2}}} = {{\sqrt 6  - i\sqrt 2 } \over { - 2 - 2i}} = {{\left( {\sqrt 6  - i\sqrt 2 } \right)\left( { - 2 + 2i} \right)} \over 8} \) \( = \frac{{ - 2\sqrt 6  + 2\sqrt 2 i + 2\sqrt 6 i + 2\sqrt 2 }}{8}\) \(= {{ - \sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4} + {{\sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4}i\)

So sánh với kết quả câu a), suy ra:

\(\cos {{7\pi } \over {12}} = {{ - \sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4};\,\sin {{7\pi } \over {12}} = {{\sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4}\)