Bài 37 trang 208 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm phần thực, phần ảo của

LG a

\({\left( {2 - 3i} \right)^3};\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {2 - 3i} \right)^3} \) \( = {2^3} - {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} - {\left( {3i} \right)^3}\) \( = 8 - 36i-54 + 27i =  - 46 - 9i\)

Vậy phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).

LG b

\({{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {{3 + 2i} \over {1 - i}} = {{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over {1+1}} \cr & = \frac{{3 + 2i + 3i - 2}}{2}= {{1 + 5i} \over 2} \cr &= {1 \over 2} + {5 \over 2}i  \cr  & {{1 - i} \over {3 - 2i}} = {{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)} \over {3^2+2^2}} \cr & = \frac{{3 + 2i - 3i + 2}}{{13}}= {{5 - i} \over {13}}\cr & = {5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \cr} \)

Do đó \({{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \) \(= {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\)

Vậy phần thực là \({{23} \over {26}}\), phần ảo là \({{63} \over {26}}\)

LG c

\({\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)

Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Phương pháp giải:

Số phức z=a+bi là số thực khi b=0.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5 \) \( = {x^2} - {y^2} + 2xyi - 2x - 2iy + 5\) \(= {x^2} - {y^2} - 2x + 5 + 2y\left( {x - 1} \right)i\)

Vậy phần thực là \({x^2} - {y^2} - 2x + 5\), phần ảo là \(2y\left( {x - 1} \right)\).

Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \(2y\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(x = 1\).