Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau trên C:

LG a

\(\eqalign{{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0}\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \({\rm{w}} = z + 3 - i\).

- Giải phương trình mới tìm w, từ đó suy ra z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:

\(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \cr &\Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} =  - 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  - i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)

LG b

\(\eqalign{\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0;} \)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\)

- Giải phương trình mới tìm w, từ đó suy ra z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  - 3 + 2i \) \(\Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4\) \( \Leftrightarrow iz + 3 = 4z - 8i\) \( \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)

\( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35i} \over {17}}} \right\}\)

LG c

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng tích.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} =0\) \(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}=0\)

\( \Leftrightarrow  \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta   = {i^2} - 4\left( {1 + 3i} \right) =  - 5 - 12i \) \(= {\left( {2 - 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} = \frac{{i + 2 + 3i}}{2} = 1 + 2i\\
{z_2} = \frac{{i - 2 - 3i}}{2} = - 1 - i
\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow  {z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)