Bài 34 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn O. Tia AO cắt BC và đường tròn O tại D và E.

a) Chứng minh \(AD \bot BC\) và EB = EC.

b) Trên cung nhỏ AC lấy điểm N sao cho AN < NC. Tia AN cắt tia BC tại M, tia NE cắt BC tại I. Chứng minh IB.IC = IE.IN và IB.MC = IC.MB.

c) Chứng minh \(\widehat {AMB} = \widehat {ACN}\) .

d) Tiếp tuyến tại N của đường tròn O cắt BM tại K. Chứng minh K là trung điểm của IM.­­

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có:

\(\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\OA\,\,chung;\\OB = OC = R;\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC\,\,\left( {c.c.c} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OAC} \Rightarrow AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Mà tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow \) Phân giác AO đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AO \bot BC\).

Mà \(D \in AO \Rightarrow AD \bot BC\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACE\) có :

\(\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\AE\,\,chung\\\widehat {BAE} = \widehat {CAE}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACE\,\,\left( {c.g.c} \right) \)

\(\Rightarrow BE = CE\) (2 cạnh tương ứng).

b) +) Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta ICN\) có :

\(\widehat {BIE} = \widehat {NIC}\) (đối đỉnh) ;

\(\widehat {IBE} = \widehat {INC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IN) ;

\( \Rightarrow \Delta IBE \sim \Delta INC\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IN}} = \dfrac{{IE}}{{IC}} \Rightarrow IB.IC = IE.IN\).

+) Ta có \(EB = EC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow cung\,EB = cung\,EC\)  (hai dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \widehat {BNE} = \widehat {CNE}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

\( \Rightarrow NE\) là tia phân giác trong của \(\widehat {BNC}\).

Ta có: \(\widehat {ANE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AN \bot NE\) hay \(NM \bot NE\).

Mà NE là tia  phân giác trong của \(\widehat {BNC}\) (cmt) \( \Rightarrow NM\) là tia phân giác ngoài của \(\widehat {BNC}\).

Áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

\(\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}};\,\,\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} \)

\(\Rightarrow IB.MC = IC.MB.\)

c) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ADM\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ANE} = \widehat {ADM} = {90^0};\\\widehat {EMA}\,\,chung;\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ANE \sim \Delta ADM\,\,\left( {g.g} \right) \)\(\,\Rightarrow \widehat {AEN} = \widehat {AMD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AEN} = \widehat {ACN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

\( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMD}\) (đpcm).

d) Xét \(\Delta EBI\) và \(\Delta ENB\) có:

\(\widehat {BEN}\,\,chung;\)

\(\widehat {EBI} = \widehat {ENB}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

\( \Rightarrow \Delta EBI \sim \Delta ENB\,\,\left( {g.g} \right) \) \(\Rightarrow \widehat {EIB} = \widehat {EBN}\).

Mà \(\widehat {EBN} = \widehat {ENK}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EN).

\(\widehat {EIB} = \widehat {NIK}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {NIK} = \widehat {ENK} \Rightarrow \Delta KIN\) cân tại K  \( \Rightarrow KN = KI\)  (1).

Xét tam giác vuông MNI có: \(\widehat {NIK} + \widehat {KMN} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

\(\widehat {ENK} + \widehat {KNM} = \widehat {INM} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {NIK} = \widehat {ENK}\,\,\left( {cmt} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {KNM} \Rightarrow \Delta KMN\) cân tại K \( \Rightarrow KM = KN\)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow KM = KI\). Vậy K là trung điểm của IM.