Bài 33 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn O (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB.

a) Chứng minh \(M{A^2} = MO.MH\) .

b) Vẽ cát tuyến MCD của (O), C nằm giữa hai điểm M và D.

Chứng minh MO.MH = MC.MD

c) Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh NM là tia phân giác của góc ANB.

d) Tia BN cắt đường tròn O tại K. Chứng minh AK // CD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(MA = MB \Rightarrow M\) thuộc trung trực của AB

\(OA = OB = R \Rightarrow O\)thuộc trung trực của AB

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại H.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM có: \(M{A^2} = MO.MH\)  (1).

b) Xét tam giác MAC và tam giác MDA có:

\(\widehat {AMC}\) chung;

\(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung);

\( \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\)   (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MO.MH = MC.MD\).

c) Vì N là trung điểm của CD \( \Rightarrow ON \bot CD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Ta có: \(\widehat {OAM} = \widehat {ONM} = \widehat {OBM} = {90^0} \Rightarrow A,\,N,\,B\) thuộc đường tròn đường kính OM.

Gọi I là trung điểm của OM \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn đường kính OM.

Xét đường tròn đường kính OM có: \(\widehat {BNM} = \widehat {BOM}\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).

\(\widehat {ANM} = \widehat {ABM}\)(2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Ta có: \(\widehat {ABM} + \widehat {OBH} = \widehat {OBM} = {90^0};\,\,\widehat {BOM} + \widehat {OBH} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {BOM}\)   (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {ANM} = \widehat {BNM} \Rightarrow NM\) là tia phân giác của \(\widehat {ANB}\).

d) Ta có \(\widehat {ANM} = \widehat {BNM}\,\,\left( {cmt} \right)\). Mà \(\widehat {BNM} = \widehat {KND}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {ANM} = \widehat {KND}\).

Xét đường tròn đường kính OM ta có : \(\widehat {ANM} = \widehat {AOM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Mà OM là đường phân giác của \(\widehat {AOB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {AOM} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} \)

\(\Rightarrow \widehat {ANM} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} \)

\(\Rightarrow \widehat {KND} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} = \dfrac{1}{2}sdcung\,AB\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AKB} = \dfrac{1}{2}sdcung\,AB\)  (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) \( \Rightarrow \widehat {AKB} = \widehat {KND}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AK//CD\).