Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {BSA} = \widehat {CSA} = {60^ \circ },\) \(\widehat {BSC} = {90^ \circ }\). Cho \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(IJ \bot SA\) và \(IJ \bot BC\).

Lời giải chi tiết

\(\Delta SAB,\Delta SAC\) đều \( \Rightarrow AB = {\rm{A}}C = a\)

\(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)

\(AJ\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow AJ = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBC\) vuông cân tại \(S\) có \(SJ\) là trung tuyến

\( \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(IJ\) là trung tuyến của tam giác \(SAJ\)\( \Rightarrow IJ = \frac{{\sqrt {2\left( {A{J^2} + S{J^2}} \right) - S{A^2}} }}{2} = \frac{a}{2}\)

\(AI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2};BJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác \(AIJ\) có: \(A{I^2} + I{J^2} = A{J^2}\)

\( \Rightarrow \Delta AIJ\) vuông tại \(I\)\( \Rightarrow AI \bot IJ \Rightarrow SA \bot IJ\)

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BI = \sqrt {A{B^2} - A{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác \(BIJ\) có: \(B{J^2} + I{J^2} = B{I^2}\)

\( \Rightarrow \Delta BIJ\) vuông tại \(J\)\( \Rightarrow BJ \bot IJ \Rightarrow BC \bot IJ\)