Bài 29 trang 67 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC.\) Chứng minh rằng:

                   \(GA = GB = GC.\)

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập \(26.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, AC, AB.\)

Vì \(∆ABC\) là tam giác đều nên \(AB = AC = BC.\) 

Xét \(∆ABC\) có \(AB = AC\) nên \(∆ABC\) cân tại \(A\).

\( \Rightarrow  BN = CP\) (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \(26\))

Ta có: \(GB = \dfrac{2}{3}BN;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\)

Suy ra \( GB = GC = \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{2}{3} CP\)   (1)

Xét \(∆ABC\) có \(BA = BC\) nên \(∆ABC\) cân tại \(B\).

\( \Rightarrow   CP = AM\)  (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \(26\))

Ta có: \(GA = \dfrac{2}{3}AM;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\)

Suy ra \(GC = GA = \dfrac{2}{3} CP = \dfrac{2}{3} AM\)   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(GA = GB = GC\) (điều phải chứng minh).