Bài 28 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*)

Lời giải chi tiết

Ta có:

|mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)² = (x + 4)²

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - 4mx + 4 = {x^2} + 8x + 16\\
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - {x^2} - 4mx - 8x + 4 - 16 = 0
\end{array}\)

⇔ (m² – 1)x²  - 4(m + 2)x – 12 = 0 (1)

+ Với m = 1 thì (1) trở thành : -12x – 12 = 0 ⇔ x = -1

+ Với m = -1 thì (1) trở thành: -4x – 12 = 0 ⇔ x = -3

+ Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta  ' = 4{(m + 2)^2} + 12({m^2} - 1) = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \)

Với \(m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {mx - 2} \right| = \left| {x + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - 2 = x + 4\\mx - 2 =  - x - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - x = 4 + 2\\mx + x =  - 4 + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x = 6\\\left( {m + 1} \right)x =  - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Nếu \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 6\left( {VN} \right)\\2x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1\)

Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 6\\0x =  - 2\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 3\)

Nếu \(m \ne  \pm 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{m - 1}}\\x =  - \frac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

 PT đã cho có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow \frac{6}{{m - 1}} =  - \frac{2}{{m + 1}}\)

⇔ 6m + 6 = -2m + 2

⇔ 8m = -4 ⇔ m = -1/2

Tóm lại : m = 1 hoặc m = -1 , hoặc m = -1/2 thì pt đã cho có nghiệm duy nhất