Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)

LG a

\((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr 
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \,\,(1)\hfill \cr 
(2m - 1)x = - m \,\,(2)\hfill \cr} \right.\)

+ Với \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{4 - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{7}{4}\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0x =  - \frac{1}{2}\left( {VN} \right)\)

Do đó pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).

+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\).

Vậy,

\(m = \frac{1}{2}\) pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).

\(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x_1 = {{4 - m} \over 2};\,\,x_2 = {m \over {1 - 2m}}\).

(hai nghiệm này có thể bằng nhau)

LG b

\(|mx + 2x – 1| = | x|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(|mx + 2x – 1| = | x|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr 
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr 
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\)

Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 1\left( {VN} \right)\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Nếu \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 1\\0x = 1\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

Nếu \(m \ne  - 1,m \ne  - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{1}{{m + 3}}\end{array} \right.\)

+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)

+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x =  - {1 \over 2}\)

+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\)

LG c

\((mx + 1)\sqrt {x - 1}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x ≥ 1

Ta có:

\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx + 1 = 0\\
\sqrt {x - 1} = 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx = - 1\,\left( 1 \right)\\
x = 1\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)

+ Với m = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0x =  - 1\left( {VN} \right)\) nên phương trình có nghiệm x = 1

+ Với m ≠ 0  (1) ⇔ \(x =  - {1 \over m}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0\cr& \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \)

Do đó:

+ Với  -1 < m < 0  ;  \(S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\)

+ Với m =0 hoặc m = -1: \( s = {1}\)

+ Các trường hợp còn lại: PT vô nghiệm

LG d

\({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x ≠ 2

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \cr&\Rightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr 
& \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

+ Với a = 2 thì S = Ø

+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2\)

\(\Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)

Vậy

+ Với a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \)

+ Với a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\)

LG e

\({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x ≠ -3

Phương trình đã cho tương đương với:

(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2

x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne  - 3 \Leftrightarrow m \ne  - {5 \over 2}\)

  i) Với \(m \ne  - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2

  ii) Với \(m =  - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm

LG f

\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\)

Lời giải chi tiết:

Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm

Với  a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1

Ta có:

\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr 
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr 
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,(l) \hfill \cr 
2ax = a - 1 \,\,\,(1)\hfill \cr} \right.\)

Nếu \(a = 0\) thì \(0x =  - 1\left( {VN} \right)\) nên pt đã cho vô nghiệm

Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{{2a}}\)

Kiểm tra ĐK: \(\frac{{a - 1}}{{2a}} \ne 1 \Leftrightarrow a - 1 \ne 2a\) \( \Leftrightarrow  - a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  - 1\) (thỏa mãn do \(a > 0\)).

Vậy

+ Với a = 0   ; S = Ø

+ Với \(a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)