Bài 24 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số)

LG a

\(|2ax + 3| = 5\)

Phương pháp giải:

Phương trình 

\(\left| {f\left( x \right)} \right| = a\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = a\\
f\left( x \right) = - a
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(|2ax + 3| = 5\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax + 3 = 5 \hfill \cr 
2ax + 3 = - 5 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax = 2 \hfill \cr 
2ax = - 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(1)\)

Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a ≠ 0 thì

\((1)   \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over a} \hfill \cr 
x = - {4 \over a} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ - 4} \over a}{\rm{\} }}\)

LG b

\({{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x ≠  ± 1\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\cr& \Rightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1 \cr 
& \Leftrightarrow  {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,(1) \cr} \)

Xét \(f(x)={x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1\)

Ta có:

\(f\left( { - 1} \right) \)\(= {\left( { - 1} \right)^2} - 2m.\left( { - 1} \right) + {m^2} - m + 1\)

\( = {m^2} + m + 2 \)\(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall m\)

Do đó \(\left( 1 \right)\) luôn không nhận \(x =  - 1\) làm nghiệm.

Lại có:

\(f\left( 1 \right) = {1^2} - 2m.1 + {m^2} - m + 1\) \( = {m^2} - 3m + 2\)

Do đó (1) không nhận \(x = 1\) làm nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right.\)

Xét Δ’ = m² – (m² – m + 1) = m – 1

+) Với \(m > 1\) và \(m\ne 2 \) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \) khác \(\pm 1\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \).

+) Với m = 2 thì (1) là: 

\({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\left( {loai} \right)\\
x = 3\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)

+ Với m < 1, (1) vô nghiệm

+) Với m = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {loai} \right)\)

Vậy

 +) m = 2; S = {3} (loại nghiệm x = 1)

 +) m >1 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m - 1} {\rm{\} }}\)

 + m \(\le\) 1; S = Ø