Bài 28 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Trong các hình chữ nhật có chu vi là \(40cm\), hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Nửa chu vi hcn là 40:2=20 (cm)

Gọi \(x (cm)\) là độ dài một cạnh của hình chữ nhật thì cạnh kia có độ dài \(20 – x (cm)\).

Điều kiện: \(0<x<20\)

Diện tích hình chữ nhật là \(S\left( x \right) = x\left( {20 - x} \right) = 20x - {x^2}\) với \(x \in \left( {0;20} \right)\)

Ta có \(S'\left( x \right) = 20 - 2x;\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\)

\(S\left( {10} \right) = 100\)

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông có cạnh dài \(10 cm\).

Cách 2. Sử dụng bất đẳng thức cô – si.

Gọi a, b là hai cạnh của hình chữ nhật, ta có a + b = 20 (a, b >0)

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow \sqrt {ab}  \le \frac{{a + b}}{2}\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{20}}{2}} \right)^2} = 100\end{array}\)

\( \Rightarrow \max \left( {ab} \right) = 100\) đạt được khi \(a = b = 10\).

Vậy hình vuông có cạnh 10 cm là diện tích lớn nhất (trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40 cm)