Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\
= 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 0\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1 - 0 = 1
\end{array}\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\mathbb {R}}  f\left( x \right) = 1\)

Lại có,

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{1}{2}
\end{array}\)

với mọi \(x \in {\mathbb{R}}\)

Mà \(f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}\).