Bài 24 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Giải hệ các phương trình:

LG a

\(\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Cách 1: Thực hiện nhân phá ngoặc thu gọn vế trái rồi áp dụng quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình.

Cách 2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

+) Đặt điều kiện (nếu có).

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn đã đặt.

+) Thay kết quả tìm được vào ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:  Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} 2(x+y)+3(x-y) =4 & & \\ (x+y) +2(x-y) =5  & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y+3x-3y =4 & & \\ x+y +2x-2y =5  & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5x-y =4 & & \\ 3x-y =5  & & \end{matrix}\right. \)

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x =-1 & & \\ 3x-y =5  & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3x-5  & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3.\dfrac{-1}{2}-5  & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =\dfrac{-13}{2}  & & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \({\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}\).

Cách 2: Đặt ẩn phụ.

Đặt \(\left\{\begin{matrix}x+y=u & & \\ x-y=v  & & \end{matrix}\right.\)  ta có hệ phương trình mới (ẩn \(u,\ v\) )

\(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ 2u + 4v = 10& & \end{matrix}\right.\)

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ -v = -6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u = 4- 3 . 6 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u = -7 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)

Với \(u=-7;v=6\) thay lại cách đặt, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} x+ y = -7 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x = -1 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế của hai phương trình ta được:

\(\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{-1}{2} & & \\  y = x- 6 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y = -\dfrac{13}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \({\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}\).

LG b

\(\left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Cách 1: Thực hiện nhân phá ngoặc thu gọn vế trái rồi áp dụng quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình.

Cách 2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

+) Đặt điều kiện (nếu có).

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn đã đặt.

+) Thay kết quả tìm được vào ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Phá ngoặc và thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.\) 

\(⇔\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right.\) \(⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right.\) \(⇔\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\) \(⇔\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((1; -1)\).

Cách 2:  Đặt ẩn phụ

Đặt \(x – 2 = u\) và \(y + 1 = v.\) 

Khi đó hệ phương trình trở thành :

\(\left\{ \begin{array}{l}
2u + 3v = - 2\\
3u - 2v = - 3
\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được hệ:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4u + 6v = - 4\\
9u - 6v = - 9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4u + 6v + 9u - 6v = - 4 + \left( { - 9} \right)\\
4u + 6v = - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13u = - 13\\
6v = - 4u - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
6v = - 4.\left( { - 1} \right) - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
6v = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
v = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

+ Với \(u = -1 ⇒ x – 2 = -1 ⇒ x = 1.\)

+ Với \(v = 0 ⇒ y + 1 = 0 ⇒ y = -1.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((1; -1).\)