Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho tam giác đều (ABC) cạnh (a), (I) là trung điểm của (BC), (D) là điểm đối xứng với (A) qua (I).


Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\). Vẽ đoạn thẳng \(S{\rm{D}}\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAD} \right)\);

b) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

 

a) \(ABC{\rm{D}}\) là hình thoi \( \Rightarrow A{\rm{D}} \bot BC\)

\(S{\rm{D}} \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow S{\rm{D}} \bot BC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)

b) Kẻ \(IJ \bot SA\left( {J \in SA} \right)\).

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A{\rm{D}} = 2AI = a\sqrt 3 \)

\(\Delta SAD\) vuông tại \(D\) \( \Rightarrow S{\rm{A}} = \sqrt {S{D^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)

 

Tam giác \(BCJ\) có \(IJ\) là trung tuyến và \(IJ = \frac{1}{2}BC\)

Vậy tam giác \(BCJ\) vuông tại \(J \Rightarrow BJ \bot JC\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\IJ \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {BCJ} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SA \bot BJ\\BJ \bot JC\end{array} \right\} \Rightarrow BJ \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\)

Mà \(BJ \subset \left( {SAB} \right)\)

Vậy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Bài giải tiếp theo
Bài 3 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 74 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 74 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 6 trang 74 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Video liên quan



Từ khóa