Bài 19 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đơn giản các biểu thức

LG a

\(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \)

Phương pháp giải:

Đặt \({\sin }^2\alpha\) làm nhân tử chung.

Sử dụng công thức \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \cr &= \sqrt {{{\sin }^2}\alpha ({{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha )} \cr 
& = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = |\sin \alpha | \cr} \)

LG b

\({{1 - \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }}\,\,(\sin \alpha  \ne 0)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 - \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }}\cr &= {{1 - \cos \alpha } \over {1 - {{\cos }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }} \cr 
& =\frac{{1 - \cos \alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {1 + \cos \alpha } \right)}} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }}\cr &= {1 \over {1 + \cos \alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }} = 0 \cr} \)

LG c

\({{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \,\,\,(cos\alpha  \ne 0)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \[1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 - {{\sin }^2}\alpha{{\cos }^2}\alpha} \over {{{\cos }^2}\alpha}} - {\cos ^2}\alpha\cr&= {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \cr 
&  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\cr &= {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} - 1 \cr &= 1 + {\tan ^2}\alpha  - 1= {\tan ^2 \alpha } \cr} \)

Cách khác:

\[\begin{array}{l}
\frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \\
= \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \frac{{\left( {1 - {{\cos }^4}\alpha } \right) - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right) - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \frac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right) - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \frac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {1 + {{\cos }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
= \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha
\end{array}\]