Bài 15 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số α trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)

Phương pháp giải:

Nhận xét dấu của các giá trị lượng giác từ dữ kiện bài cho, suy ra vị trí điểm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \Rightarrow \cos \alpha \ge 0 \cr} \)

⇔  M nằm trên nửa đường tròn lượng giác bên phải trục Oy (lấy cả 2 điểm trên trục Oy).

Hay M(x;y) sao cho x² + y² = 1; x ≥ 0.

LG b

\(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha  \Rightarrow \sin \alpha  \ge 0\)

Suy ra M nằm trên nửa đường tròn lượng giác phía trên trục Ox (lấy cả 2 điểm nằm trên trục Ox)

⇔  M(x, y) thỏa mãn x² + y² = 1; y ≥ 0

LG c

\(\tan \alpha  = {{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } } \over {\cos \alpha }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } }}{{\cos \alpha }}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } }}{{\cos \alpha }}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha \ne 0\\
\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha \ne 0\\
\sin \alpha \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Mà \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \)

Do \(\cos \alpha \ne 0\) nên \({\sin ^2}\alpha\ne 1\) hay \(\sin\alpha \ne 1\).

Vậy tập hợp các điểm M là nửa đường tròn đơn vị nằm phía trên trục hoành (lấy cả 2 điểm thuộc trục hoành nhưng không lấy điểm (0;1))

⇔  M(x, y) thỏa mãn x² + y² = 1, y ≥ 0; y ≠ 1