Bài 18 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tính giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(\cos \alpha  = {1 \over 4};\,\,\sin \alpha  < 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}}\end{array}\)

Mà \(\sin \alpha  < 0\) nên \(\sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{{15}}{{16}}}  =  - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) \( = \left( { - \frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right):\frac{1}{4} =  - \sqrt {15} \)

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }}\) \( = \frac{1}{{ - \sqrt {15} }} =  - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\)

LG b

\(\sin \alpha =  - {1 \over 3};\,{\pi  \over 2} < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \\
= 1 - {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}
\end{array}\)

Mà \({\pi \over 2} < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\(\Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{8}{9} } = - {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

\(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} \)\(= \left( { - \frac{1}{3}} \right):\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = {{\sqrt 2 } \over 4} \)

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{\sqrt 2 }}{4} = 2\sqrt 2\)

LG c

\(\tan \alpha  = {1 \over 2};\, - \pi  < \alpha  < 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \[1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\
\Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\\
1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\\
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\\
- \pi < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\\
\Rightarrow \sin \alpha = - \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\cot }^2}\alpha } }}\\
= - \frac{1}{{\sqrt {1 + {2^2}} }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\\
\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\tan \alpha }}\\
= - \frac{{\sqrt 5 }}{5}:\frac{1}{2} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- \pi < \alpha < 0 \hfill \cr 
\tan \alpha = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cos \alpha < 0\cr& \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \cr&   \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\cr &\Rightarrow \cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr 
& \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \cr &\Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = - {{\sqrt 5 } \over 5} \cr 
& \cot \alpha = {1 \over {\tan \alpha }} = 2 \cr} \)