Bài 13 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

LG a

Tìm các giá trị của \(k\) để \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \)

Phương pháp giải:

Sủ dụng lí thuyết: \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow v  = 0\,\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow u  = ({1 \over 2}\,;\, - 5)\,;\overrightarrow v  = (k\,;\, - 4)\,\).

\(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow v  = 0\,\)

\(\Leftrightarrow \,\,{1 \over 2}.k + ( - 5).( - 4) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{k}{2} + 20 = 0 \Leftrightarrow \frac{k}{2} =  - 20\)\(\Leftrightarrow \,\,k =  - 40.\)

LG b

Tìm các giá trị của \(k\) để \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\)

Phương pháp giải:

Tính độ dài mỗi véc tơ rồi cho chúng bằng nhau tìm k.

Chú ý: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\\
\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{k^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{k^2} + 16} \\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {101} }}{2} = \sqrt {{k^2} + 16} \\
\Leftrightarrow \frac{{101}}{4} = {k^2} + 16\\
\Leftrightarrow {k^2} = \frac{{37}}{4}\\
\Leftrightarrow k = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}
\end{array}\)