Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân Leibnitz \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(f\left( x \right) = 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {0dx}  = \left. C \right|_a^b = 0\)

Nếu \(f\left( x \right) > 0\), gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]

Mà a < b \( \Rightarrow \) F(a) < F (b).

\( \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right) > 0\).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\).

LG b

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\) 

Lời giải chi tiết:

Trên đoạn [a, b] ta có; f(x) > g(x) nên f(x ) – g(x) \( \ge \) 0.

Theo câu a, ta có: f(x ) – g(x) \( \ge \)  0, nên

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).