Bài 12 trang 133 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc dài \(4km\) và một đoạn xuống dốc dài \(5km\). Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết \(40\) phút và đi từ \(B\) về \(A\) hết \(41\) phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc lúc lên dốc là \(x\left( {km/h} \right)\) và vận tốc lúc xuống dốc là \(y\left( {km/h} \right)\)  \(\left( {x;y > 0} \right)\) 

Thời gian lên dốc một đoạn \(4km\) là \(\dfrac{4}{x}\left( h \right)\), thời gian xuống dốc một đoạn \(5km\) là \(\dfrac{5}{y}\) (h)

Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là tổng thời gian lên dốc đoạn \(4km\) và xuống dốc đoạn \(5km\) là \(40\)phút\( = \dfrac{2}{3}h\) nên ta có phương trình \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\left( 1 \right)\)

Thời gian lên dốc một đoạn \(5km\) là \(\dfrac{5}{x}\left( h \right)\), thời gian xuống dốc một đoạn \(4km\) là \(\dfrac{4}{y}\) (h)

Thời gian đi từ \(B\) đến \(A\) là tổng thời gian lên dốc đoạn \(5km\) và xuống dốc đoạn \(4km\) là \(41\)phút\( = \dfrac{{41}}{{60}}h\) nên ta có phương trình \(\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\) 

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = u\\\dfrac{1}{y} = v\end{array} \right.\,\left( {u;v \ne 0} \right)\)  ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}4u + 5v = \dfrac{2}{3}\\5u + 4v = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12u + 15v = 2\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}192u + 240v = 32\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}108u = 9\\12u + 15v = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\12.\dfrac{1}{{12}} + 15v = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Thay lại cách đặt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy vận tốc khi xuống dốc là \(15km/h\) và vận tốc khi lên dốc là \(12km/h.\)