Bài 11 trang 72 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường tròn bằng nhau \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Kẻ các đường kính \(AOC, AO'D\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AC\) với đường tròn \((O')\).

a) So sánh các cung nhỏ \(\overparen{BC}, \overparen{BD}\).

b) Chứng minh rằng \(B\) là điểm chính giữa của cung \(\overparen{EBD}\) ( tức điểm \(B\) chia cung \(\overparen{EBD}\) thành hai cung bằng nhau: \(\overparen{BE}\) =  \(\overparen{BD}\) ).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(OO' \bot AB\) (định lý)

Xét tam giác \(ADC\) có \(OO'\) là đường trung bình (vì \(O\) là trung điểm \(AC,O'\) là trung điểm \(AD\)) nên \(OO'//CD\) , suy ra \(AB \bot CD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác \(ADC\) có \(AC = AD\) (vì hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) có cùng bán kính) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(A\) có \(AB\) là đường cao nên \(AB\) cũng là đường trung tuyến, suy ra \(BC = BD\) hay cung BC = cung BD  (vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) là hai đường tròn bằng nhau).

b) Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(A,E,D\) cùng thuộc đường tròn và \(AD\) là đường kính nên tam giác \(AED\) vuông tại \(E \Rightarrow DE \bot AC \Rightarrow \widehat {DEC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) có \(B\) là trung điểm \(DC\left( {cmt} \right) \Rightarrow EB = \dfrac{{DC}}{2} = BD = EB\)

Suy ra  cung EB=cung BD (định lý), do đó \(B\) là điểm chính giữa cung \(ED.\).