Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);               \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                     \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Lời giải chi tiết

* Ta có \(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  = \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)  là số thực.

Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)

Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực

* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}  = {{\overline z  - z} \over {{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}} =  - {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\)  \(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.

*  \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}  = {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} =  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}} \Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.