Bài 11 trang 117 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Đề bài

Chứng tỏ bốn điểm sau đây là bốn đỉnh của một hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5).

Lời giải chi tiết

Ta gọi A(1;1;1), B(2;3;4); C(7;7;5); D(6; 5; 2)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = (1;2;3).\) Vậy ABCD là hình bình hành.

Suy ra \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = (1;2;3),\overrightarrow {AD}  = (5;4;1)  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| \matrix{  2 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right|} \right)\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= ( - 10;14; - 6)  \cr  &  \Rightarrow {S_{ABCD}} = \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{14}^2} + {{( - 6)}^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {332}  = 2\sqrt {83} .  \cr  &  \cr} \)