Ôn tập chương 4 Số phức


Video bài giảng

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC "SỐ PHỨC VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN"

Hệ thống hóa số phức và các dạng toán liên quan

Bài tập 1:

Tìm số phức z sao cho \((1 +2i)z\) là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).

Lời giải:

Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).

Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)\)

\(=(a-2b)+(2a+b)i.\)

\((1 +2i)z\) là số thuần ảo khi và chỉ khi: 

\(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)

\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | \)

\(=\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: 

\(z=2+i;z=-2-i.\)

Bài tập 2:

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)

Lời giải:

Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)
Ta có \(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\)

\(\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)

\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3a + b = 3}\\
{a - b = 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2}\\
{b =  - 3}
\end{array}} \right.\)
Vậy \(z=2-3i\).

Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.

Bài tập 3:

Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn 

\(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\).

Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)

Lời giải:

Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i\)

\((a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1}\\
{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2 = 1}\\
{{{({a_1} + {b_2})}^2} + {{({b_1} + {b_2})}^2} = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\)

\(\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)
Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)

Bài tập 4:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 

\((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) 

Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)

Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)

\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+\)

\((3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4a + (4a - 2b)i = 4 + 10i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4a = 4}\\
{4a - 2b = 10}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{b =  - 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Do đó \(z= 1- 3i.\)

Ta có: 

\(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)

Suy ra môđun của \(w\) là:

\(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC "SỐ PHỨC VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN"

Hệ thống hóa số phức và các dạng toán liên quan

Bài tập 1:

Tìm số phức z sao cho \((1 +2i)z\) là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).

Lời giải:

Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).

Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)\)

\(=(a-2b)+(2a+b)i.\)

\((1 +2i)z\) là số thuần ảo khi và chỉ khi: 

\(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)

\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | \)

\(=\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: 

\(z=2+i;z=-2-i.\)

Bài tập 2:

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)

Lời giải:

Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)
Ta có \(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\)

\(\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)

\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3a + b = 3}\\
{a - b = 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2}\\
{b =  - 3}
\end{array}} \right.\)
Vậy \(z=2-3i\).

Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.

Bài tập 3:

Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn 

\(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\).

Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)

Lời giải:

Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i\)

\((a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1}\\
{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2 = 1}\\
{{{({a_1} + {b_2})}^2} + {{({b_1} + {b_2})}^2} = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\)

\(\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)
Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)

Bài tập 4:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 

\((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) 

Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)

Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)

\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+\)

\((3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4a + (4a - 2b)i = 4 + 10i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4a = 4}\\
{4a - 2b = 10}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{b =  - 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Do đó \(z= 1- 3i.\)

Ta có: 

\(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)

Suy ra môđun của \(w\) là:

\(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)

Bài học tiếp theo

Ôn tập cuối năm phần Giải tích

Bài học bổ sung