Bài 1: Số phức

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).

- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)

- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a - bi.\)

- Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)

- Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

- Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

- Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.

- Ta có:

+ ​\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).

+ \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.

+ \(z = - \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm số thực x, y thỏa mãn:

a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)

b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) \)

\(= \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)

Lời giải: 

a) 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i}\\
{ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + y = 2y - 1}\\
{5x = x - y}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{1}{7}.}\\
{y = \frac{4}{7}.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

b) Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) \)

\(= \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - x + 2y = 4x - y - 3}\\
{2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{5x - 3y = 3}\\
{x - 5y =  - 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{9}{{11}}}\\
{y = \frac{4}{{11}}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Ví dụ 2: 

Tìm số phức z biết:

a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).

b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)

c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.

Lời giải:

Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)

a) Ta có: \(z = \overline z\) 

Nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \)

\(\Leftrightarrow x = \pm 5.\)

Vậy số phức cần tìm là \(z=5; z=-5\).

b) Ta có: \(z = -\overline z\) 

Nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \)

\(\Leftrightarrow y = \pm 4.\)

Vậy số phức z cần tìm là \(z=4i; z=-4i\).

c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{{{\left( {3y} \right)}^2} + {y^2} = 36}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{{y^2} = \frac{{18}}{5}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}}\\
{y =  - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x =  - \frac{{9\sqrt {10} }}{5}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\)

\(z =  - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i\).

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).

- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)

- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a - bi.\)

- Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)

- Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

- Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

- Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.

- Ta có:

+ ​\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).

+ \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.

+ \(z = - \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm số thực x, y thỏa mãn:

a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)

b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) \)

\(= \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)

Lời giải: 

a) 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i}\\
{ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + y = 2y - 1}\\
{5x = x - y}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{1}{7}.}\\
{y = \frac{4}{7}.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

b) Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) \)

\(= \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - x + 2y = 4x - y - 3}\\
{2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{5x - 3y = 3}\\
{x - 5y =  - 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{9}{{11}}}\\
{y = \frac{4}{{11}}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Ví dụ 2: 

Tìm số phức z biết:

a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).

b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)

c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.

Lời giải:

Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)

a) Ta có: \(z = \overline z\) 

Nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \)

\(\Leftrightarrow x = \pm 5.\)

Vậy số phức cần tìm là \(z=5; z=-5\).

b) Ta có: \(z = -\overline z\) 

Nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \)

\(\Leftrightarrow y = \pm 4.\)

Vậy số phức z cần tìm là \(z=4i; z=-4i\).

c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{{{\left( {3y} \right)}^2} + {y^2} = 36}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3y}\\
{{y^2} = \frac{{18}}{5}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}}\\
{y =  - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x =  - \frac{{9\sqrt {10} }}{5}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\)

\(z =  - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i\).