Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

- Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

- Xét phương trình bậc hai:

\(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):

- Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)

- Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)

- Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\) đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 

\(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z =  - 2}\\
{{z^2} - 2z + 4 = 0{\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: 

\(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 3}\\
{{z^2} + 3z + 9 = 0{\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: 

\(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

\(\Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) \)

\(- 3{z^2} = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \({({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) \)

\(- 3{z^2} = 0\)

Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

- Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \)

\(\Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)

- Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \)

\(\Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)

- Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

- Xét phương trình bậc hai:

\(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):

- Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)

- Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)

- Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\) đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 

\(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z =  - 2}\\
{{z^2} - 2z + 4 = 0{\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: 

\(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 3}\\
{{z^2} + 3z + 9 = 0{\mkern 1mu} (*)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: 

\(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

\(\Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) \)

\(- 3{z^2} = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

- Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \({({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) \)

\(- 3{z^2} = 0\)

Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

- Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \)

\(\Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)

- Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \)

\(\Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)