Bài 3: Phép chia số phức
Video bài giảng
1. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức:
\({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R})\)
Ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\) (số phức liên hợp của mẫu)).
2. Chú ý
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
- Số phức nghịch đảo của \(z\):
\({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
- Thương của \(z'\) chia cho \(z\):
\(\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}.\)
3. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Lời giải:
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} \)
\(=5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là:
\(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).
Ví dụ 2:
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}}\\
{ = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.}
\end{array}\)
Vậy môđun của số phức z là:
\(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
Ví dụ 3:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
Lời giải:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\({ \Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i}\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
Ví dụ 4:
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\frac{{(\bar z - 1).(2 - i)}}{{\bar z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\\
\Leftrightarrow 2(\bar z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\bar z + 2i)
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).
Ví dụ 5:
Tính số phức sau:
\(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)
Vậy \({{{\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)}^{16}} + {{\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)}^8} = {i^{16}} + {{( - i)}^8}}\)
\({ = {{({i^2})}^8} + {{\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)}^4} = 1 + 1 = 2.}\)
1. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức:
\({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R})\)
Ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\) (số phức liên hợp của mẫu)).
2. Chú ý
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
- Số phức nghịch đảo của \(z\):
\({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
- Thương của \(z'\) chia cho \(z\):
\(\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}.\)
3. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Lời giải:
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} \)
\(=5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là:
\(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).
Ví dụ 2:
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}}\\
{ = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.}
\end{array}\)
Vậy môđun của số phức z là:
\(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
Ví dụ 3:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
Lời giải:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\({ \Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i}\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
Ví dụ 4:
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\frac{{(\bar z - 1).(2 - i)}}{{\bar z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\\
\Leftrightarrow 2(\bar z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\bar z + 2i)
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).
Ví dụ 5:
Tính số phức sau:
\(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)
Vậy \({{{\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)}^{16}} + {{\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)}^8} = {i^{16}} + {{( - i)}^8}}\)
\({ = {{({i^2})}^8} + {{\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)}^4} = 1 + 1 = 2.}\)