Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Cho hai số phức:

\({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) 

Ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) \)

\(= (a + c) + (b + d)i\)

• \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) \)

\(= (a - c) + (b - d)i\)

• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) \)

\(= (ac - bd) + (ad + bc)i\)

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)

- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):

\(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        

\(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} \)

\(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)

\(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     

\(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

3. Bài tập minh họa                         

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \bar z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)

\(\begin{array}{l}
{z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2}\\
 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {\bar z} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2}\\
 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{\left( {\bar z} \right)^3} = {\left( {\bar z} \right)^2}.\bar z\\
 = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)\\
 = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
 = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar z = {{\left( {\sqrt 2  + i} \right)}^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)}\\
\begin{array}{l}
 = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\
 = 5 + i\sqrt 2 
\end{array}
\end{array}}\\
{ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 }
\end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết:

\((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) \)

\(= 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a - 3b = 2}\\
{a + b - 2 =  - 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{1}{3}}\\
{b = \frac{{ - 1}}{3}}
\end{array}} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: 

\(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: 

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \)

\(\Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính \(R=2\).

Cho hai số phức:

\({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) 

Ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) \)

\(= (a + c) + (b + d)i\)

• \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) \)

\(= (a - c) + (b - d)i\)

• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) \)

\(= (ac - bd) + (ad + bc)i\)

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)

- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):

\(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        

\(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} \)

\(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)

\(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     

\(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

3. Bài tập minh họa                         

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \bar z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)

\(\begin{array}{l}
{z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2}\\
 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {\bar z} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2}\\
 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{\left( {\bar z} \right)^3} = {\left( {\bar z} \right)^2}.\bar z\\
 = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)\\
 = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
 = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar z = {{\left( {\sqrt 2  + i} \right)}^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)}\\
\begin{array}{l}
 = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\
 = 5 + i\sqrt 2 
\end{array}
\end{array}}\\
{ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 }
\end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết:

\((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) \)

\(= 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a - 3b = 2}\\
{a + b - 2 =  - 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{1}{3}}\\
{b = \frac{{ - 1}}{3}}
\end{array}} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: 

\(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: 

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \)

\(\Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính \(R=2\).