Bài 6: Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian

a) Định nghĩa 1

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰. 

\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)

b) Định nghĩa 2

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.  

\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)

c) Định nghĩa 3

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)

d) Định nghĩa 4

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

e) Định nghĩa 5

• Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.
• Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).

f) Định nghĩa 6

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

g) Định nghĩa 7

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).

h) Định nghĩa 8

Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).

i) Định nghĩa 9

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

j) Định nghĩa 10

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

a) Định lý 1

\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)

b) Định lý 2

\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)

c) Định lý 3

• \(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d'//d \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot (P)\)
• \(\left. \begin{array}{l} (P)//(Q)\\ d \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
• \(\left. \begin{array}{l} d//(P)\\ d' \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot d\)

d) Định lý 4

\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)

e) Định lý 5

\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)

f) Định lý 6

\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)

4. Bài tập Ôn tập

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.

a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).

b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).

Hướng dẫn giải:

a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)

b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).

Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).

AD // (SBC)

\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)

Hạ AH vuông góc SB tại H.

Suy ra \(AH \bot (SBC)\).

Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \)\(\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO // SC.

Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)

Hạ MN vuông góc với SK tại N.

Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO. 

Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).

Trong tam giác vuông MNO tại N có: 

\(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)

Hạ AP vuông góc với SK tại P.

Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).

Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\) 

Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \)\(\Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).

Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)

Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \)

\(\Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)

a) Định nghĩa 1

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰. 

\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)

b) Định nghĩa 2

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.  

\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)

c) Định nghĩa 3

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)

d) Định nghĩa 4

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

e) Định nghĩa 5

• Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.
• Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).

f) Định nghĩa 6

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

g) Định nghĩa 7

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).

h) Định nghĩa 8

Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).

i) Định nghĩa 9

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

j) Định nghĩa 10

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

a) Định lý 1

\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)

b) Định lý 2

\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)

c) Định lý 3

• \(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d'//d \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot (P)\)
• \(\left. \begin{array}{l} (P)//(Q)\\ d \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
• \(\left. \begin{array}{l} d//(P)\\ d' \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot d\)

d) Định lý 4

\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)

e) Định lý 5

\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)

f) Định lý 6

\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)

4. Bài tập Ôn tập

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.

a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).

b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).

Hướng dẫn giải:

a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)

b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).

Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).

AD // (SBC)

\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)

Hạ AH vuông góc SB tại H.

Suy ra \(AH \bot (SBC)\).

Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \)\(\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO // SC.

Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)

Hạ MN vuông góc với SK tại N.

Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO. 

Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).

Trong tam giác vuông MNO tại N có: 

\(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)

Hạ AP vuông góc với SK tại P.

Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).

Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\) 

Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \)\(\Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).

Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)

Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \)

\(\Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)