Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)
\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)
\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.
a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).
b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).
a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)
b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).
Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).
AD // (SBC)
\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)
Hạ AH vuông góc SB tại H.
Suy ra \(AH \bot (SBC)\).
Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \)\(\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)
Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO // SC.
Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \)
\(\Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)
Hạ MN vuông góc với SK tại N.
Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).
Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO.
Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).
Trong tam giác vuông MNO tại N có:
\(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)
Hạ AP vuông góc với SK tại P.
Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\)
Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \)\(\Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)
Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).
Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \)
\(\Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)
\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)
\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.
a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).
b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).
a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)
b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).
Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).
AD // (SBC)
\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)
Hạ AH vuông góc SB tại H.
Suy ra \(AH \bot (SBC)\).
Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \)\(\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)
Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO // SC.
Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \)
\(\Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)
Hạ MN vuông góc với SK tại N.
Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).
Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO.
Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).
Trong tam giác vuông MNO tại N có:
\(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)
Hạ AP vuông góc với SK tại P.
Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\)
Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \)\(\Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)
Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).
Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \)
\(\Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)